Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве

Неявные функции и дифференцируемые отображения

Неявные функции

Неявные функции одной и 2-ух переменных. Пусть функция 2-ух переменных определена на неком огромном количестве плоскости переменных . Тогда, если существует функция одной переменной , определенная на огромном количестве , такая, что производится равенство то, этом случае функция , именуется неявно данной функцией уравнением .

Пусть в трехмерном пространстве задан цилиндр Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве (рис.5)

и в этом цилиндре определена функция . Тогда, если существует функция 2-ух переменных , определенная на огромном количестве такая, что производится равенство , то функция именуется неявно данной функцией уравнением .

Рис.5


Примеры.1) Уравнение задает неявно нескончаемое огромное количество функций, определенных на (рис.6).

2)Разглядим функцию . Пусть – некая округа точки , и координаты Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве точки удовлетворяют уравнению , . Тогда существует единственная неявная функция, такая, что ее график содержится в (рис.7).


Рис.6


Рис.7


3) Уравнение задает нескончаемое огромное количество неявных функций, определенных при , т.е. – круг радиусом . По правде, формула , в какой для каждой из точек символ перед корнем выбирается произвольно, определяет неявную функцию. Заметим, что функции Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве и данные в , непрерывны в и дифференцируемы в .

Последующие четыре аксиомы даются для уравнения .

Аксиома 14 (существование неявной функции). Пусть функция определена в цилиндре , непрерывна по при фиксированных и , и производится неравенство . Тогда существует, по последней мере, одна неявная функция , данная уравнением

, (38)

определенная на огромном количестве .

‰ Пусть случайная точка Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве принадлежащая . По условию аксиомы функции , при фиксированных значениях , непрерывна на . В силу аксиомы Коши (из параметров функций непрерывных на отрезке) функция воспринимает хоть какое промежуточное значение меж и . Потому что и имеют разные знаки, то воспринимает и нулевое значение, т.е. существует хотя бы одна точка , в какой . Положим, . Таким макаром Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве построена неявная функция , определенная на . <

Аксиома 15 (единственность). Пусть определена в цилиндре , при фиксированных и из области и строго однообразна по переменной . Тогда не может существовать более одной неявной функции , определенной на .

‰ Представим, что есть две разные функции и , данные уравнением (38). Тогда найдется такая хотя бы одна точка Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве , что . Но из изготовленного догадки, имеем . Последнее нереально, потому что строго однообразна по , т.е. . Получаем противоречие с условием. Как следует, функция единственна. <

Следствие. Пусть функция непрерывна по переменной в цилиндре и для точки . Пусть также дифференцируема по в открытом цилиндре , при этом сохраняет символ в этом цилиндре. Тогда Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве уравнение (38) задает единственную неявную функцию, определенную на огромном количестве .

‰ По аксиоме 1 существует, по последней мере, одна неявная функция . Потому что сохраняет символ в открытом цилиндре, то строго однообразна по на . Как следует, по аксиоме 15 неявная функция определена единственным образом. <

Аксиома 16(непрерывность неявной функции). Пусть функция непрерывна в цилиндре ; для хоть какой Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве точки производится условие ; функция дифференцируема в открытом цилиндре и в . Тогда уравнение (1) определяет единственным образом неявную функцию , которая непрерывна на огромном количестве .

‰ Существование и единственность неявной функции определяются следствием и аксиомой 15. Для подтверждения непрерывности функции разглядим разность . Применяя формулу конечных приращений Лагранжа, получаем

(39)

Положим , тогда . Как следует, . Используя условие , из (39) получаем

. (40)

Переходя Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве в неравенствах (40) к лимиту при в силу непрерывности функции , имеем

.

Как следует, неявно данная функция непрерывна в хоть какой точке .

<

Аксиома 17 (дифференцирование неявной функции). Пусть функция непрерывна в цилиндре , где открытое огромное количество; производится условие ; функция дифференцируема в открытом цилиндре и . Тогда уравнение (38) определяет единственным образом неявную Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве функцию , которая дифференцируема на и справедливы равенства

, , (41)

где .

‰ Существование и единственность неявной функции вытекает из теорем 14 и 15. При всем этом непрерывна на по аксиоме 16. Потому что функция 3-х переменных дифференцируема на открытом огромном количестве , то

(42)

где при .

Положим , тогда для точки имеем и

, . (43)

Из (42) и (43) получим

.

Потому что , то

. (44)

Так как непрерывна, то при . Как следует Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве, потому что , и при , то по аксиоме о пределе дела 2-ух функций получаем

, .

Отсюда следует, что

, (45)

где при .

Из (44) и (45) следует

.

Таким макаром, дифференцируемая функция в случайной точке и

, ,

где . <

Замечания.

1) Подобные аксиомы имеют место для многофункционального уравнения

. (46)

Областью тут является интервал , т.е. – прямоугольник на плоскости (рис. 8). Тут неявная функция , а Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве ее производные рассчитываются по формуле

. (47)

Рис.8


2) Принципиальным в аксиоме 17, а, как следует, в формуле (41) и в формуле (47) является отличие от нуля производной стоящей в знаменателе. К примеру, если , то уравнение (46) может иметь не единственное решение относительно функции в точке , а может не иметь ни 1-го, решения. К примеру, для уравнения Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве получаем , , а . Разумеется, что в округи точки (1, 0) при , уравнение не имеет решения относительно , т.е. неявная функция не существует. А при , уравнение имеет два решения и , т.е. задает две неявные функции.

Совместно с тем, нужно отметить, что условия (либо ) являются только достаточными. Если они не производятся, то неявная функция Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве может существовать. К примеру, для уравнения в точке (0, 0) они не производится, но, в округи точки (0, 0) существует единичная неявная функция .

Пример. Обосновать, что уравнение

определяет единственную неявную функцию , и отыскать производные .

Решение. Обозначим . Потому что , то при любом фиксированном значении функция является растущей функцией переменной . Не считая того, для хоть какого фиксированного Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве значения при довольно огромных значениях , разумеется, производятся неравенства: при и при . Так как - непрерывная функция, то существует единственное такое, что , как следует, уравнение определяет единственную неявную функцию .

Сейчас найдем производные. Потому что - дифференцируемая функция и , то и функция дифференцируема на всей числовой прямой. Для нахождения воспользуемся формулой (47):

= .

Дифференцируя Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве . Найдем

.

Чтоб отыскать значения в какой или точке, необходимо поначалу вычислить соответственное значение в этой точке. Пусть . Несложно проверить, что решением уравнения (49) при является , т.е. . Подставляя в приобретенные общие формулы, получаем .

Неявные функции n переменных. Пусть задано уравнение

(48)

либо в векторном виде

.

Функцию будем полагать данной в цилиндре :

.

Если существует функция n Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве переменных , определенная на огромном количестве , такая, что , при , то молвят, что неявная функция, данная уравнением (48).

Имеют место последующая аксиома.

Аксиома 18(о неявной функции n переменных). Пусть производятся последующие условия:

а) ;

б) дифференцируема в ;

в) непрерывна в ; .

Тогда найдутся и , что в некой округи точки уравнение (48) имеет единственное решение Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве удовлетворяющее условию , при этом дифференцируемая и справедливы формулы:

. (49)

Пример. Отыскать в точке личные производные функции , данной уравнением .

Решение. Из уравнения найдем значение функции в данной точке .

Функция равна 0 в точке (1, 1, 2) и непрерывна в ее округи. Функции

непрерывны, при этом . Как следует, данное уравнение в округи точки (1, 1, 2) определяет единственную безпрерывно дифференцируемую Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве функцию , личные производные которой можно отыскать по формулам (48):

,

.

Сейчас разглядим систему уравнений:

либо в векторном виде:

, (50)

где .

Пусть – фиксированные точки.

Аксиома 19 (о существовании решения системы неявных функций). Пусть производятся условия:

а) ;

б) функции дифференцируемы в округи точки ;

в) личные производные непрерывны в ;

г) .

Тогда есть и такие, что для Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве система уравнений имеет единственное решение:

.

При всем этом удовлетворяют условиям , и функции – дифференцируемы.

Векторные отображения

Пусть точка огромного количества и пусть на заданы последующие функции n - переменных:

Таким макаром, для каждого фиксированного можно рассматривать вектор . В данном случае молвят, что имеет место векторное отображение либо векторная функция .

У векторной функции , любая координата Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве является функцией n-переменных . Функции именуют координатными функциями отображения , где записывают так .

Если , то места и можно считать совпадающими и функцию можно интерпретировать как отображение в . Такое отображение нередко именуют векторным полем,данным на огромном количестве . Принципиальным классом векторных отображений являются линейные отображения либо линейные векторные функции. Векторное отображение Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве именуют линейным если и , производится:

.

Из определения следует, что при линейном отображении неважно какая линейная композиция векторов отображается в такую же линейную комбинацию образов этих векторов

.

Линейные отображения именуют также линейными операторами.

В физических приложениях имеет место последующий личный случай векторных отображений. Пусть , т.е. и . Разглядим отображение , т Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве.е. векторное поле

,

где – три скалярных функции 3-х переменных либо . Таким макаром, каждой точке трехмерного геометрического места ставится в соответствие вектор этого же места. Примерами физических векторных полей являются:

- поле гравитации;

- электронное поле ;

- магнитное поле

- поле скорости воды .

Пусть и является предельной точкой огромного количества , а . Отображение задано Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве функцией . Определим расстояние в пространстве как

.

Расстояние в пространстве определяется последующим образом:

.

Определение 25. Вектор именуют пределом отображения при , если для хоть какого положительного найдется такое неотрицательное число , что из выполнения условия будет следовать выполнение неравенства , т.е. .

Предел отображения обозначается:

.

Разумеется, что для хоть какого справедливы неравенства

.

Тогда ясно, что из условия Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве (14) следует .

Определение 26. Пусть и является его предельной точкой. Отображение именуется непрерывным в точке , если оно определено в точке и существует предел при равный , т.е. .

Если – изолированная точка огромного количества , то считается непрерывной в точке .

Ясно, что отображение безпрерывно в точке любая функция непрерывна в точке как функция n-переменных Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве.

Определение 27. Отображение , определенное на открытом огромном количестве именуется дифференцируемым в точке , если любая функция дифференцируема в точке .

Потому что любая функция n - переменных дифференцируемая в точке , то ее полное приращение в этой точке имеет вид

,

где ; .

Эти полные приращения представляют собой m скалярных равенств, и их можно записать в Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве векторном виде в пространстве

, (51)

где

, (52)

.

Более тщательно (51) можно записать так:

.

Определение 28. Векторы (52) именуют личными производными отображения в точке по переменным .

Определение 29. Выражение , линейное относительно переменных именуют дифференциалом отображения в точке и обозначают

. (53)

Заметим, что – дифференциал независящей переменной . Формулы (51) и (53) можно записать в матричной форме:

, (54)

где матрица

называетсяматрицей Якоби, а надлежащие Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве векторы - столбцы имеют вид:

; .

Матрица Якоби именуется также производной вектор-функции в точке , и обозначается одним из методов:

.

Заметим, что градиент функции переменных есть личный случай матрицы Якоби при , и потому его также являют производной этой функции.

Определение 30. Отображение именуется безпрерывно дифференцируемым на открытом огромном количестве , если личные производные – непрерывны на Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве огромном количестве .

Если , то матрица Якоби квадратная размерностью n:

.

Определитель таковой матрицы Якоби именуется якобианом и обозначается

.

Примеры. 1) Отыскать дифференциал отображения в точке , где .

Решение. Для функций , , найдем матрицу Якоби

в точке . Получаем

.

Тогда

.

2) Отыскать якобиан отображения

Решение.

.

Опять разглядим случай, когда . Тут – вектор-функция определенная на открытом огромном количестве . Будем интерпретировать как Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве векторное поле на .

Определение 31. Векторное поле именуется возможным на огромном количестве X, если существует такая дифференцируемая функция n-переменных , что производятся условия:

.

Функция именуется потенциалом векторного поля . В силу дифференцируемости функции следует:

,

либо

.

Таким макаром, потенциал векторного поля есть функция , градиентом некой является функции , т.е. само векторное поле Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве.

Из определения следует, что потенциал векторного поля определяется с точностью до неизменного числа С. Если и два потенциала векторного поля , то .

Аксиома 20. Для того чтоб дифференцируемое векторное поле, определенное в , было возможным, нужно выполнение последующих критерий:

.

‰ Пусть – потенциал поля , тогда . Из дифференцируемости векторного поля следует, что два раза дифференцируема на . Тогда Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве в силу аксиомы о равенстве смешанных производных

. ■


povesti-o-mongolo-tatarskom-nashestvii-8-glava.html
povestk-a-zasedaniya-pravitelstvennoj-komissii-respubliki-tatarstan-po-obespecheniyu-bezopasnosti-dorozhnogo-dvizheniya.html
povestka-dnya-na-26-aprelya-2013goda-v-10-00-ch.html